A partir de la secuencia que desarrollaremos a continuación se pretende sistematizar y ampliar el campo de los conocimientos que tienen los niños
para calcular.  Entendemos que el cálculo mental se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego, los conocimientos del sujeto que las despliega o las preferencias al momento de optar por uno u otro cálculo.
A la hora de pensar en el cálculo mental nos remitimos, por un lado, a aquellos cálculos que son memorizados, es decir que forman parte del r repertorio de cálculo y que puede recurrirse a ellos en cualquier momento; por otro lado, los cálculos que son pensados, es decir, aquellos que responden a situaciones en las que es necesario desplegar diferentes caminos para llegar a la resolución. Es así que el trabajo didáctico sobre este tipo de cálculo debe ser nutrido a través de múltiples situaciones, que permitan ampliar ese entramado que sostiene las estrategias que llevan adelante los niños una vez que se encuentran ante un problema.
Al estar estrechamente vinculado con los significados de las operaciones, si se lo presenta aislado es imposible que el alumno pueda establecer los
vínculos pertinentes y tomar las decisiones necesarias Secuencia en operaciones: cálculo mental para ejecutarlo. En este sentido, el tipo de números y
el orden de magnitud de los mismos son importantes variables didácticas a tener en cuenta a la hora de trabajar en cálculo, ya que su modificación puede generar cambios en los procedimientos de resolución que los niños puedan desarrollar. Así, definir una variable en uno u otro sentido genera, como consecuencia, cambios en los conocimientos que se requiere poner en marcha para la resolución del problema planteado. Por tanto, es posible hacer que los conocimientos que son eficaces para los alumnos dejen de serlo, y se sientan en la necesidad de apropiarse de nuevas estrategias.
El procedimiento de cálculo también se rige por propiedades ligadas a las reglas del sistema posicional, decimal y a las propiedades de la operación
en sí.

Entendemos que, tal vez, la secuencia de enseñanza de un contenido escolar podría ser el puente entre lo que se les pretende enseñar a los estudiantes magisteriales y el quehacer en el aula. La importancia radica en que los estudiantes comprendan «los contenidos de los ejes de la formación».

Pensar la enseñanza de las operaciones multiplicativas (multiplicación y división) es pensar en un complejo entramado que incluye diversos conceptos
y aspectos a considerar: divisores, múltiplos, propiedades, regularidades, cálculo, algoritmos, representaciones, relaciones con otras operaciones y con el
Sistema de Numeración Decimal, números naturales, fracciones y expresiones decimales, distintos significados de las operaciones.
Es claro que este entramado debe ser organizado y jerarquizado a lo largo de varios años del ciclo escolar primario. Esto aleja aquella idea de que los
alumnos aprenden a multiplicar y dividir en Segundo grado, y en el resto de la escolaridad solo se involucran números con mayor cantidad de cifras o expresiones decimales.
En este artículo me centraré en uno de los conceptos constitutivos de este entramado: la relación MÚLTIPLO-DIVISOR.

Las diversas complejidades que plantea la práctica han requerido algo más que la aplicación mecánica de la teoría. Ha sido necesario reconocer y evaluar la compleja situación a la que nos enfrentamos, entendiéndola como una situación problemática. Es decir, los problemas planteados por la práctica son singulares y requieren de acciones para resolverlos, de reflexiones sobre la misma y del conocimiento generado a partir de esa reflexión. Orozco-Hormaza (2003) plantea que esa reflexión docente es fundamental para la formación de los estudiantes en la práctica, ya que requiere, en primer lugar, la creación de situaciones novedosas que rompan con lo “habitual” y, en segundo lugar, la utilización de técnicas innovadoras para
la comunicación, la participación y la reflexión. Entonces, para que la reflexión coopere en la transformación de los “gajes” del oficio del rol del maestro adscriptor, no puede ser espontánea o esporádica. Debe ser, en cambio, intencional y planificada y, por sobre todas las cosas, debe ser crítica. En tal sentido: «Para Kemmis (1987), reflexionar críticamente significa colocarse en el contexto de una acción, en la historia de la situación, participar en una actividad social y tomar postura ante los problemas» (apud Contreras, 2001:121). 

Ahora, la cuestión está en cómo llegar a un un auténtico proceso reflexivo. Al respecto, Smyth (idem) plantea que es necesario propiciar una mayor capacidad de cuestionamiento y seguir una lógica de concienciación progresiva. Es decir, reflexionar sobre la práctica significa ir desde la descripci ón hacia la búsqueda de las teorías implícitas en el quehacer diario, y luego de confrontar lo que se hace y sus causas, reflexionar sobre ellas, intervenirlas y mejorarlas; «reconstruir el sentido político que hemos aprendido a aceptar respecto a la función de la enseñanza, y configurar un nuevo significado para ésta...» (ibid., p. 126). En una escuela de práctica, esta complejidad se redobla al tener que habitar un espacio con un otro (maestro practicante) al que debemos acompañar, y que llega a la clase a abrir las puertas, dejando nuestras prácticas “al desnudo”. Pues en este intercambio, todo cuanto hay de mecánico y automático en el quehacer del día a día, y que generalmente se esfuerza por permanecer oculto, lejos del análisis, queda inmediatamente al descubierto, a la luz  de la interpelación.

¿Cómo planificar una secuencia de Matemática estructurada progresivamente de manera tal que una actividad complemente y amplíe la actividad anterior y considere la evaluación para continuar avanzando?
En esta oportunidad analizaremos una secuencia de división en Segundo grado, en la cual las maestras realizan un recorte para el abordaje de los diferentes significados de las operaciones en el campo multiplicativo: proporcionalidad (reparto o de agrupamiento), de producto escalar (dobles y mitades) y de producto de medidas (organizaciones rectangulares).

Es bastante extendido que el trabajo con las operaciones en la escuela debería abordar diferentes aspectos que favorecen la construcción del sentido de las mismas. Según Rodríguez Rava (2005), estos aspectos son los significados de las operaciones, las relaciones entre las operaciones, las relaciones entre las operaciones y el Sistema de Numeración Decimal, las propiedades, las prelaciones entre estas propiedades, el cálculo, los algoritmos, la resignificación de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos, y la notación de las operaciones.

En el artículo e intentamos resumir los problemas que implican división entre naturales, cuando el dividendo y el divisor no sean múltiplos, se resuelven con división entera (con resto), con división exacta (cociente decimal) o no tienen solución. Realizamos un recorrido por problemas con división, focalizando la atención en los números involucrados e intentando analizar como, en algunos casos, estos permiten ampliar la mirada sobre los
significados, esperando aportar a la construcción del sentido de las operaciones.

¿A qué hacemos referencia cuando decimos aprender a dividir y a multiplicar con alumnos del siglo XXI?
Aprender la multiplicación y la división implica ser capaz de utilizarlas en diferentes situaciones, relacionarlas, “poner en juego” algunas de sus propiedades, establecer vínculos con el sistema de numeración, tener a disposición un repertorio de cálculo amplio y resolver el algoritmo.
Su enseñanza encierra, entonces, una serie de aspectos todos importantes y necesarios, que requieren de la planificación de un recorrido didáctico
pleno en desafíos que habilite, tal como lo plantea Kincheloe (2001) –adhiriéndose al pensamiento de Gregory Bateson– “la danza de las partes interconectadas”.
Habitualmente se pensaba que la multiplicación y la división eran contenidos propios de segundo grado, y su enseñanza estaba centrada en los algoritmos y en las tablas. En otro momento, si bien se mantuvo el foco en la resolución de la “cuenta”, a partir de distintas investigaciones se
generalizó la idea de que era el niño quien debía desarrollar estrategias propias para resolver situaciones de multiplicación y de división, restándole
importancia al algoritmo convencional. Lo importante era que pudiera dividir o multiplicar.

En este artículo nos proponemos centrar la mirada en las intervenciones que debe realizar el docente para hacer evolucionar esas estrategias
primarias de resolución –muy ligadas a la situación que las origina– hacia otros procedimientos más generales, menos transparentes, a los que el alumno pueda recurrir cualquiera sea la situación planteada. Nos interesa potenciar la resolución de situaciones de división a través de procedimientos comprendidos por quienes los lleven a cabo, de manera que esas estrategias resulten verdaderas herramientas en las que se pone en juego el pensar numéricamente.

Durante el primer ciclo de la educación básica, desde Nivel Inicial a tercer grado, es posible abordar distintos problemas de tipo aditivo y multiplicativo con los niños, ya que la “entrada” a estos problemas se realiza a partir de situaciones que pueden ir resolviendo de acuerdo a las distintas herramientas matemáticas que han ido construyendo, que hacen pie fundamentalmente en los conocimientos que tienen acerca de la Numeración.

En general, es a partir del dominio progresivo de estos problemas que los docentes introducen la enseñanza de las operaciones. De acuerdo a Vergnaud (1991) sabemos que la enseñanza de este contenido es un trabajo de largo aliento y que entre los niños existen fuertes desigualdades
en su aprendizaje, debido principalmente a la variedad y a las diferentes dificultades que dichos problemas presentan dentro del campo de
los problemas tanto de tipo de aditivo como de tipo multiplicativo.
El dominio de estos diferentes tipos de problemas no solo requiere de múltiples conceptualizaciones que los niños deben ir elaborando acerca de los distintos aspectos que involucra el contenido operaciones, sino además del establecimiento de relaciones que es necesario que se
produzcan entre esos distintos aspectos.

La enseñanza de este contenido puede llevarse a cabo a través de diversos recorridos didácticos. Consideramos, tomando como referencia a Vergnaud, que los más fructíferos son los que favorecen los procesos por los cuales los niños pueden avanzar en el establecimiento de relaciones matemáticas. Para que esto suceda es necesario que los docentes conozcan en profundidad los distintos aspectos del contenido a enseñar, a los efectos de poder diseñar y concretar recorridos didácticos con intervenciones que permitan a los alumnos progresar desde los conocimientos
ya alcanzados por el grupo a otros nuevos, relacionándolos.

En esta oportunidad, la revista tiene como tema central artículos sobre la enseñanza de la Matemática, especialmente referidos al trabajo en el campo multiplicativo.

Hay quienes conciben la Matemática como un cuerpo acabado de conocimientos, un conjunto de definiciones.
Otros, en cambio, piensan la Matemática como una construcción histórico-social, como un producto cultural, mirada que nos sitúa frente a un cuerpo de conocimientos que se va construyendo en el tiempo en una comunidad en la que unos problemas dan lugar a otros, formalizándose en nuevo conocimiento que se vincula, se relaciona con los anteriores modificándolos y enriqueciéndolos.
Entender la Matemática como una construcción tiene, indudablemente, consecuencias importantes en nuestra visión de su enseñanza en la escuela. Es decir, no solo qué Matemática vamos a enseñar, sino fundamentalmente cómo vamos a enseñarla.
Aprender Matemática implica entonces, desde esta mirada, construir el sentido de los conocimientos a partir de la resolución de problemas
y la reflexión en torno a estos. La resolución de problemas se convierte así en el eje desde el que se impulsa la construcción de conocimiento.
Para ello, estos problemas deben revestir ciertas características que los tornen en desafíos para cuya resolución se tienen herramientas de entrada,
pero no las herramientas óptimas, pues son estas las que se busca construir en la resolución de esa situación.

Concebir la Matemática como una manera de actuar, de proceder frente a los problemas, de construir saberes y herramientas para pensar, implica crear una comunidad de producción de conocimiento en el aula, que resuelva problemas, discuta, confronte opiniones, explore, formule conjeturas, explique, justifique procedimientos y conclusiones, argumente, valide.

Para que eso suceda es necesario que los alumnos hagan Matemática, y para hacer Matemática es necesario construir los conceptos en la interacción con el problema y con los otros. 

Con relación al tema que nos convoca, es necesario precisar que el campo conceptual de las estructuras multiplicativas supone todas las situaciones que pueden ser analizadas como problemas de proporciones simples y múltiples, para las cuales generalmente es necesaria una multiplicación, una división o una combinación de ambas. Varios tipos de conceptos matemáticos están involucrados en las situaciones que constituyen este campo conceptual, y en el pensamiento necesario para dominar tales situaciones.
Entre tales conceptos están los de función lineal, fracción, razón, número racional, multiplicación, división.

En concordancia con este planteo, entrar en el campo de las estructuras multiplicativas supone una enseñanza a partir de las relaciones posibles.

Para desarrollar competencias sociales como sujetos de derecho en nuestros niños y niñas, es necesaria una intervención pensada, sistemática y transversal que fomente el desarrollo de la persona en todas sus dimensiones.
Alcanza con que un niño haya vivido una situación de violencia, de abandono o de abuso, para que todos debamos asumir un compromiso con todos, con ese niño, con su grupo, con su escuela, con su familia, con su vida.
El problema de él o de ella es un problema de todos.
Una de las más crueles manifestaciones de odio es la indiferencia. Por otra parte, las conductas de un niño afectado en el goce de sus derechos son disruptivas y terminan siendo, casi siempre, un problema de conducta.
En este tiempo que nos toca ser maestras y maestros, los protagonistas de la escuela junto con las operaciones, los enunciados, los verbos, el invierno, la A, son la vida, sus sentimientos, sus miedos y sus desafíos.

Pensar en los niños como sujetos de derecho es considerar el derecho al juego y a vivir esta etapa con alegría, para que en el futuro puedan desarrollarse como adultos capaces de crear un mundo mejor, sin reproducir meramente el actual.

“El sistema de numeración: un problema didáctico” (Lerner y Sadovsky, 1994) es la primera investigación que pone a este sistema en el debate de la enseñanza. Desde sus primeras reflexiones, las autoras se hacen esta pregunta: «El sistema de numeración y las operaciones aritméticas son dos contenidos básicos que atraviesan la escolaridad primaria, ¿cuál es la relación que puede establecerse entre ellos?» A partir de allí hacen notar que dentro de determinado planteo didáctico, los alumnos son capaces de generar en acto procedimientos que ponen en
evidencia conocimientos del sistema de numeración y de las propiedades de las operaciones.
Con énfasis en esta realidad, las autoras sostienen que didácticamente se abre la posibilidad de confrontar estos procedimientos y avanzar en el conocimiento de ambos aspectos.
Esta pregunta nos lleva de la mano al problema que deseamos plantear: durante largo tiempo, estos dos aspectos entrelazados se han
trabajado en la enseñanza en forma separada. La explicación de este fenómeno es de larga data y no han podido desprenderse de esta  historia los currículos escolares.