La Probabilidad es una rama de la Matemática y se relaciona en forma estrecha con el campo de la Estadística que es, en cierta medida, su ala aplicada.
Surge con el estudio de los juegos de azar y, tal como lo plantea Bressan (2003), uno de los objetivos de la Probabilidad es evaluar las posibilidades de que un suceso se lleve a cabo o no. De esta manera, el cálculo de probabilidades habilita la toma de decisiones disminuyendo parcialmente la incertidumbre, transformándose, si se quiere, en una medida de esta.
En muchas ocasiones nos enfrentamos a situaciones no deterministas, y su análisis posibilita, entonces, el desarrollo de un pensamiento aleatorio donde
cuantificar la posible ocurrencia de un determinado suceso se vuelve importante. El desarrollo de un pensamiento que pueda dar medidas probabilísticas ajustadas, aun en situaciones relativamente sencillas, no es común, no se construye de manera natural. La mayor parte de la Matemática que estudiamos en Educación Primaria y en Educación Secundaria tiene una larga tradición en la Historia de la Humanidad; sin embargo, la Probabilidad tiene su formulación, como cuerpo de conocimientos ordenados, a principios del siglo pasado. No ha resultado sencillo “domesticar” el azar. Con más razón, para entender su funcionamiento es necesaria la inclusión sistemática, y con clara intencionalidad didáctica, de situaciones que pongan en juego el azar.

Denominamos así al abordaje de la Geometría del Espacio a través de los recursos de Realidad Aumentada existentes y a disposición de la enseñanza.
«Artistas, constructores, arquitectos, ingenieros, diseñadores de todas las culturas y épocas han tratado con el problema de la representación
de formas tridimensionales en superficies bidimensionales e, inversamente, el reconocimiento de la forma tridimensional a partir de la
bidimensional (Senechal, 2008).» (apud Grossi y Sgreccia, 2015)
Los recursos de Realidad Aumentada vienen a salvar este problema; nos permiten visualizar –a través de marcadores creados a tal fin– las figuras 3D
en el espacio, nos permiten moverlas, ver las caras ocultas, girarlas, descubrir sus propiedades, etcétera.
De esta manera, los niños se asombran, se divierten, juegan, “manipulan” a través de un recurso que, mediante la intervención didáctica del docente, 
permite problematizar el contenido matemático que se desea enseñar.

Desde el enfoque de la enseñanza escolar de la Matemática, el presente artículo pretende analizar y poner a discusión para problematizar su “uso”, algunas situaciones cotidianas que tienen presencia en el Nivel Inicial y los primeros grados de la escuela primaria. A modo de ejemplo, el control de asistencia, el trabajo con el calendario, la escritura de la fecha, la “observación” del estado del tiempo y su registro, son actividades que los niños habitualmente viven en esas clases.
A veces, algunas son el contexto para la planificación de actividades que sirven de encuadre para la enseñanza de contenidos matemáticos. Tal es el caso de la observación del estado del tiempo y su registro, que se utiliza como marco para abordar la organización de la información como contenido del eje Estadística.
Hay otras, que son de las que nos ocuparemos, que se planifican intencionalmente como actividades para la enseñanza de contenidos matemáticos: el trabajo con el calendario y el pasaje de lista o control de asistencia. 
Estas situaciones se plantean recurrentemente, en un cierto orden dentro de la agenda de la clase y con presencia diaria.
En el caso del control de asistencia, al comenzar la jornada escolar tanto en Inicial Cinco años como en primer grado es habitual que el docente pregunte: “¿Cuántos varones hay hoy? ¿Cuántas niñas? ¿Cuántos en total?”. Estas mismas preguntas se constituyen en algo habitual para el maestro y para los alumnos, algo conocido, algo que ocurre siempre de la misma forma: una rutina.

Es bastante extendido que el trabajo con las operaciones en la escuela debería abordar diferentes aspectos que favorecen la construcción del sentido de las mismas. Según Rodríguez Rava (2005), estos aspectos son los significados de las operaciones, las relaciones entre las operaciones, las relaciones entre las operaciones y el Sistema de Numeración Decimal, las propiedades, las prelaciones entre estas propiedades, el cálculo, los algoritmos, la resignificación de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos, y la notación de las operaciones.

En el artículo e intentamos resumir los problemas que implican división entre naturales, cuando el dividendo y el divisor no sean múltiplos, se resuelven con división entera (con resto), con división exacta (cociente decimal) o no tienen solución. Realizamos un recorrido por problemas con división, focalizando la atención en los números involucrados e intentando analizar como, en algunos casos, estos permiten ampliar la mirada sobre los
significados, esperando aportar a la construcción del sentido de las operaciones.

En estas páginas, con la intención de compartir la experiencia transitada en distintos espacios de trabajo, volveremos sobre ciertos aspectos de la tarea de enseñar que seguramente no son nuevos, pero sí centrales para hacer una relectura de las prácticas habituales y reinventar así nuestras propuestas para promover mejores aprendizajes. En la búsqueda de reconstruir para nuestros alumnos el sentido de los conocimientos matemáticos que van aprendiendo, nos ha inquietado delinear una estrategia que nos permita ir generando con ellos una red de relaciones entre las nociones que van aprendiendo y entre distintos aspectos de cada una de ellas.

Para este propósito, el diseño de secuencias con unidad de sentido que incluyan actividades que vayan contemplando algunos de los aspectos que señalaremos a continuación, y con ciertos elementos fijos: con recuperación de lo conocido, con autoevaluación de los alumnos y evaluación del recorrido, nos va resultando una herramienta potente.

«Los problemas constituyen la fuerza motriz de las matemáticas. Se considera un buen problema aquel cuya resolución, en vez de limitarse a poner orden en lo que no era sino un callejón sin salida, abre ante nosotros unas perspectivas totalmentenuevas.» (Stewart, 2005:16)

Antes de continuar la lectura le pido, estimado lector, que se olvide del título del artículo.
Resulta que anunciar de qué va el problema que voy a analizar, es como empezar por el final de la película. Y si usted tiene un amigo que cuando
comparte la salida al cine va adelantando lo que va a suceder... pues termina la amistad. Así que nuevamente le pido que ignore que hablaremos
de divisibilidad (y me perdone de anunciarlo).
En clase, cuando proponemos problemas a nuestros alumnos y preguntan: “¿Qué título ponemos?”, habría que mirarlos con cara de yono-fui para responderles: “El título lo ponemos al final”. Es que si el encabezado anuncia, sugiere o induce a sospecha sobre cuál es la herramienta que solucionará el problema, es preferible obviarlo totalmente. El centro de la historia no está en la introducción, ni en el desenlace, está en las relaciones que se establecen a partir de la situación original y de la lógica del problema, que hacen que el final sea inevitable.

Este problema lo he propuesto en muchas oportunidades y a diferentes grupos: futuros profesores de Matemática, maestros en ejercicio, formadores del área de Matemática, estudiantes de Secundaria y de Primaria. Los alumnos de sexto grado de primaria y de primer año de liceo han disfrutado particularmente del desafío, poniendo todo su ingenio al servicio de responder la pregunta. En el resto de los contextos intuyen más rápido de qué va el problema, y el entusiasmo ante las relaciones que a partir de él se pueden establecer, disminuye.

En este artículo quiero compartir un análisis del problema, un relato de mi experiencia al proponerlo y reflexiones sobre cómo llevarlo adelante en nuestras clases. También esbozaré algunos de los vínculos que pueden establecerse para plantearlos en preguntas que motiven al grupo a seguir aprendiendo más sobre el tema. La versión que he propuesto últimamente es adaptada de una formulación que hace Bentancor Biagas (2013).

Durante el primer ciclo de la educación básica, desde Nivel Inicial a tercer grado, es posible abordar distintos problemas de tipo aditivo y multiplicativo con los niños, ya que la “entrada” a estos problemas se realiza a partir de situaciones que pueden ir resolviendo de acuerdo a las distintas herramientas matemáticas que han ido construyendo, que hacen pie fundamentalmente en los conocimientos que tienen acerca de la Numeración.

En general, es a partir del dominio progresivo de estos problemas que los docentes introducen la enseñanza de las operaciones. De acuerdo a Vergnaud (1991) sabemos que la enseñanza de este contenido es un trabajo de largo aliento y que entre los niños existen fuertes desigualdades
en su aprendizaje, debido principalmente a la variedad y a las diferentes dificultades que dichos problemas presentan dentro del campo de
los problemas tanto de tipo de aditivo como de tipo multiplicativo.
El dominio de estos diferentes tipos de problemas no solo requiere de múltiples conceptualizaciones que los niños deben ir elaborando acerca de los distintos aspectos que involucra el contenido operaciones, sino además del establecimiento de relaciones que es necesario que se
produzcan entre esos distintos aspectos.

La enseñanza de este contenido puede llevarse a cabo a través de diversos recorridos didácticos. Consideramos, tomando como referencia a Vergnaud, que los más fructíferos son los que favorecen los procesos por los cuales los niños pueden avanzar en el establecimiento de relaciones matemáticas. Para que esto suceda es necesario que los docentes conozcan en profundidad los distintos aspectos del contenido a enseñar, a los efectos de poder diseñar y concretar recorridos didácticos con intervenciones que permitan a los alumnos progresar desde los conocimientos
ya alcanzados por el grupo a otros nuevos, relacionándolos.

En esta oportunidad, la revista tiene como tema central artículos sobre la enseñanza de la Matemática, especialmente referidos al trabajo en el campo multiplicativo.

Hay quienes conciben la Matemática como un cuerpo acabado de conocimientos, un conjunto de definiciones.
Otros, en cambio, piensan la Matemática como una construcción histórico-social, como un producto cultural, mirada que nos sitúa frente a un cuerpo de conocimientos que se va construyendo en el tiempo en una comunidad en la que unos problemas dan lugar a otros, formalizándose en nuevo conocimiento que se vincula, se relaciona con los anteriores modificándolos y enriqueciéndolos.
Entender la Matemática como una construcción tiene, indudablemente, consecuencias importantes en nuestra visión de su enseñanza en la escuela. Es decir, no solo qué Matemática vamos a enseñar, sino fundamentalmente cómo vamos a enseñarla.
Aprender Matemática implica entonces, desde esta mirada, construir el sentido de los conocimientos a partir de la resolución de problemas
y la reflexión en torno a estos. La resolución de problemas se convierte así en el eje desde el que se impulsa la construcción de conocimiento.
Para ello, estos problemas deben revestir ciertas características que los tornen en desafíos para cuya resolución se tienen herramientas de entrada,
pero no las herramientas óptimas, pues son estas las que se busca construir en la resolución de esa situación.

Concebir la Matemática como una manera de actuar, de proceder frente a los problemas, de construir saberes y herramientas para pensar, implica crear una comunidad de producción de conocimiento en el aula, que resuelva problemas, discuta, confronte opiniones, explore, formule conjeturas, explique, justifique procedimientos y conclusiones, argumente, valide.

Para que eso suceda es necesario que los alumnos hagan Matemática, y para hacer Matemática es necesario construir los conceptos en la interacción con el problema y con los otros. 

Con relación al tema que nos convoca, es necesario precisar que el campo conceptual de las estructuras multiplicativas supone todas las situaciones que pueden ser analizadas como problemas de proporciones simples y múltiples, para las cuales generalmente es necesaria una multiplicación, una división o una combinación de ambas. Varios tipos de conceptos matemáticos están involucrados en las situaciones que constituyen este campo conceptual, y en el pensamiento necesario para dominar tales situaciones.
Entre tales conceptos están los de función lineal, fracción, razón, número racional, multiplicación, división.

En concordancia con este planteo, entrar en el campo de las estructuras multiplicativas supone una enseñanza a partir de las relaciones posibles.

Este artículo recoge reflexiones que surgen tanto del análisis previo de una actividad de copiado de figuras, como de los procedimientos de
resolución desarrollados por algunos alumnos.
Parte de estas ideas tienen su origen en la preparación de un taller para Formadores de Matemática del Instituto de Formación en Servicio del CEIP. Agradecemos a los maestros María Ana Ipar (Escuela Nº 78, Salto), María Eugenia Ferreri (Escuela Nº 116, Florida), Rosario Ortega (Escuela Nº 144, Tacuarembó), Juan Castro (Escuela Nº 5, 25 de Mayo, Florida), Eloísa Tambasco y Florencia Espinosa (Escuela Nº 204, Canelones) por proponerles amablemente la actividad a sus alumnos y permitirnos analizar sus procedimientos.
Presentamos la actividad de copiado que mencionamos, y las reflexiones que generó.

Quienes trabajamos en la docencia, frecuentemente nos preguntamos cómo elegir los contenidos a enseñar, cuáles de ellos priorizar y cuáles son las herramientas y recursos más adecuados para trabajar en el aula de Matemática. Serán las actividades y los problemas junto a la gestión del docente en el aula los que habiliten a “hacer Matemática”, es decir: «Lograr que los alumnos conjeturen, construyan argumentos, modelicen, analicen la pertinencia de los resultados obtenidos y logren comunicar los procesos y razonamientos realizados» (ANEP. CEP, 2009:67). La intención de este artículo es presentar un análisis de actividades y problemas vinculados a un contenido matemático haciendo interactuar diversos recursos: Cuadernos para hacer Matemática, Plataforma Adaptativa de Matemática (PAM) y Plataforma Matific.

Integrantes del Equipo de Investigación en Enseñanza de la Matemática, revista QUEHACER EDUCATIVO