Desde la enseñanza es necesario considerar los tiempos de aprendizaje de los alumnos y la importancia de que ellos siempre puedan volver atrás
para establecer relaciones con lo aprendido anteriormente. El volver atrás no significa “hacer más de lo mismo”, sino una revisita pero desde otros lugares que permitan enriquecer la construcción de un concepto. 
Es en ese sentido que vemos la necesidad de planificar diversas secuencias que permitan reinvertir, ganar complejidad, avanzar. En este artículo
presentamos una secuencia para trabajar la relación de proporcionalidad directa y algunas de sus propiedades.
Si bien está pensada para un segundo grado, hay actividades que pueden ser propuestas en primer o en tercer grado adaptando algunas variables
como las magnitudes, el conjunto numérico, el orden de magnitud de números, entre otras. En particular nos interesa dejar en evidencia la estructura de cada problema, qué habilita y bloquea cada uno de ellos, y los avances que genera cada modificación que se hace. El avance en el aprendizaje no está dado por enfrentarse a problemas con números mayores, sino a problemas que permitan acceder al objeto matemático desde otra perspectiva.

En esta ocasión iniciamos la secuencia con un problema en un contexto cotidiano, que comúnmente se presenta en segundo grado con el propósito
de enseñar la multiplicación y desconociendo que es un problema de proporcionalidad. Nos proponemos recuperar el concepto de proporcionalidad transformándolo en un eje que atraviesa la escolaridad.
La secuencia está dividida en tres partes, y en cada una de ellas hay diversos problemas. 

Pensar la enseñanza de las operaciones multiplicativas (multiplicación y división) es pensar en un complejo entramado que incluye diversos conceptos
y aspectos a considerar: divisores, múltiplos, propiedades, regularidades, cálculo, algoritmos, representaciones, relaciones con otras operaciones y con el
Sistema de Numeración Decimal, números naturales, fracciones y expresiones decimales, distintos significados de las operaciones.
Es claro que este entramado debe ser organizado y jerarquizado a lo largo de varios años del ciclo escolar primario. Esto aleja aquella idea de que los
alumnos aprenden a multiplicar y dividir en Segundo grado, y en el resto de la escolaridad solo se involucran números con mayor cantidad de cifras o expresiones decimales.
En este artículo me centraré en uno de los conceptos constitutivos de este entramado: la relación MÚLTIPLO-DIVISOR.

¿Cómo planificar una secuencia de Matemática estructurada progresivamente de manera tal que una actividad complemente y amplíe la actividad anterior y considere la evaluación para continuar avanzando?
En esta oportunidad analizaremos una secuencia de división en Segundo grado, en la cual las maestras realizan un recorte para el abordaje de los diferentes significados de las operaciones en el campo multiplicativo: proporcionalidad (reparto o de agrupamiento), de producto escalar (dobles y mitades) y de producto de medidas (organizaciones rectangulares).

¿A qué hacemos referencia cuando decimos aprender a dividir y a multiplicar con alumnos del siglo XXI?
Aprender la multiplicación y la división implica ser capaz de utilizarlas en diferentes situaciones, relacionarlas, “poner en juego” algunas de sus propiedades, establecer vínculos con el sistema de numeración, tener a disposición un repertorio de cálculo amplio y resolver el algoritmo.
Su enseñanza encierra, entonces, una serie de aspectos todos importantes y necesarios, que requieren de la planificación de un recorrido didáctico
pleno en desafíos que habilite, tal como lo plantea Kincheloe (2001) –adhiriéndose al pensamiento de Gregory Bateson– “la danza de las partes interconectadas”.
Habitualmente se pensaba que la multiplicación y la división eran contenidos propios de segundo grado, y su enseñanza estaba centrada en los algoritmos y en las tablas. En otro momento, si bien se mantuvo el foco en la resolución de la “cuenta”, a partir de distintas investigaciones se
generalizó la idea de que era el niño quien debía desarrollar estrategias propias para resolver situaciones de multiplicación y de división, restándole
importancia al algoritmo convencional. Lo importante era que pudiera dividir o multiplicar.

En este artículo nos proponemos centrar la mirada en las intervenciones que debe realizar el docente para hacer evolucionar esas estrategias
primarias de resolución –muy ligadas a la situación que las origina– hacia otros procedimientos más generales, menos transparentes, a los que el alumno pueda recurrir cualquiera sea la situación planteada. Nos interesa potenciar la resolución de situaciones de división a través de procedimientos comprendidos por quienes los lleven a cabo, de manera que esas estrategias resulten verdaderas herramientas en las que se pone en juego el pensar numéricamente.

En esta oportunidad, la revista tiene como tema central artículos sobre la enseñanza de la Matemática, especialmente referidos al trabajo en el campo multiplicativo.

Hay quienes conciben la Matemática como un cuerpo acabado de conocimientos, un conjunto de definiciones.
Otros, en cambio, piensan la Matemática como una construcción histórico-social, como un producto cultural, mirada que nos sitúa frente a un cuerpo de conocimientos que se va construyendo en el tiempo en una comunidad en la que unos problemas dan lugar a otros, formalizándose en nuevo conocimiento que se vincula, se relaciona con los anteriores modificándolos y enriqueciéndolos.
Entender la Matemática como una construcción tiene, indudablemente, consecuencias importantes en nuestra visión de su enseñanza en la escuela. Es decir, no solo qué Matemática vamos a enseñar, sino fundamentalmente cómo vamos a enseñarla.
Aprender Matemática implica entonces, desde esta mirada, construir el sentido de los conocimientos a partir de la resolución de problemas
y la reflexión en torno a estos. La resolución de problemas se convierte así en el eje desde el que se impulsa la construcción de conocimiento.
Para ello, estos problemas deben revestir ciertas características que los tornen en desafíos para cuya resolución se tienen herramientas de entrada,
pero no las herramientas óptimas, pues son estas las que se busca construir en la resolución de esa situación.

Concebir la Matemática como una manera de actuar, de proceder frente a los problemas, de construir saberes y herramientas para pensar, implica crear una comunidad de producción de conocimiento en el aula, que resuelva problemas, discuta, confronte opiniones, explore, formule conjeturas, explique, justifique procedimientos y conclusiones, argumente, valide.

Para que eso suceda es necesario que los alumnos hagan Matemática, y para hacer Matemática es necesario construir los conceptos en la interacción con el problema y con los otros. 

Con relación al tema que nos convoca, es necesario precisar que el campo conceptual de las estructuras multiplicativas supone todas las situaciones que pueden ser analizadas como problemas de proporciones simples y múltiples, para las cuales generalmente es necesaria una multiplicación, una división o una combinación de ambas. Varios tipos de conceptos matemáticos están involucrados en las situaciones que constituyen este campo conceptual, y en el pensamiento necesario para dominar tales situaciones.
Entre tales conceptos están los de función lineal, fracción, razón, número racional, multiplicación, división.

En concordancia con este planteo, entrar en el campo de las estructuras multiplicativas supone una enseñanza a partir de las relaciones posibles.

La enseñanza de las operaciones ha sido y continúa siendo una preocupación para los maestros de Educación Primaria. Sin embargo, en muchos casos esta preocupación se centra y se reduce al aspecto mecánico del algoritmo. En el discurso de los maestros, aún hoy es posible encontrar expresiones que dan cuenta de la reducción de la operación al algoritmo. Incluso reconociendo la necesidad de abordar los distintos significados de las operaciones, al analizar sus planificaciones hay quienes encuentran que han focalizado un único significado en variadas ocasiones.
Con respecto al orden de aparición de las operaciones en el ciclo escolar, parecería que la enseñanza de la división y de la multiplicación se realiza con posterioridad a la de la suma y la resta.
Una posible explicación que busca fundamentar esta práctica es que para abordar la multiplicación y la división es necesario consolidar previamente ciertas nociones numéricas.
Otra creencia muy extendida entre los docentes es pensar que la responsabilidad de la enseñanza de las operaciones está en las clases de los primeros niveles. De esta manera se instala en el imaginario docente la idea de que, llegados a los grados superiores, los niños “dominan los algoritmos”. 

Al respecto, se desprenden algunos interrogantes: operaciones y algoritmos, ¿son sinónimos? ¿Es suficiente dominar el algoritmo para poder utilizarlo en la resolución de problemas? ¿Es posible depositar la responsabilidad de la enseñanza de las operaciones en un nivel o bien debería ser producto del trabajo sistemático, coordinado y secuenciado a lo largo de todos los años de escolaridad?

El pasado sábado 13,se realizó la Conferencia dictada por la Dra. Patricia Sadovsky, quien fuera invitada por la FUM- TEP y la Revista QUEHACER EDUCATIVO. Instancia declarada de interés por el CEIP.
El encuentro estuvo dirigido a maestros de escuela primaria y a formadores de maestros. A partir de un video de una clase con alumnos de tercer grado, se analizó el inicio de la enseñanza de la multiplicación. Se interpretaron los significados que se iban elaborando en las interacciones en el aula. 
También se abordaron algunos rasgos de la secuencia seleccionada por la maestra y luego se discutió sobre las relaciones de mutua implicación entre las ideas matemáticas que caracterizan la propuesta de enseñanza y forman parte de la intención didáctica de la maestra y las interacciones efectivas en el aula. 
Sin lugar a dudas, una instancia muy rica y fructífera de formación que gracias a la FUM-TEP y Revista QUEHACER EDUCATIVO, pudieron compartir numerosos docentes.

 Sábado 13 de Agosto

Harario: 9 a 13 hs.

Conferencia dirigida a maestros de primaria y a formadores de maestros, previa a la presentación del primer tomo de los libros de matemática, del Fondo Editorial Queduca.

Sobre la base de un video de clase, dirigido a alumnos de tercer grado a los que se inicia en la enseñanza de la multiplicación, se analizarán los significados que se van elaborando en el aula.

Se reflexionará, en primer término, sobre algunos rasgos de la secuencia de trabajo seleccionada por la maestra y luego se discutirá sobre las relaciones de mutua implicación entre las ideas matemáticas que caracterizan la propuesta de enseñanza y forman parte de la intención didáctica de la maestra y las interacciones efectivas en el aula.

Cupos limitados. Por más información e inscripciones, dirigirse al correo: Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.

Cuaderno de bitácora: un recurso para ir y venir de la teoría a la práctica

Autor: Ana Laura Lujambio Fernández

Concepto: Narración de algunas actividades realizadas con alumnos de 2º año al comienzo de las clases, tomando especialmente como rumbo la multiplicación, la multiplicación por dos cifras, la división entre dos cifras, y la idea de que no siempre dividir es repartir.

Revista Nº 95
Junio de 2009